Пересечение гранных поверхностей с поверхностями вращения

При пересечении поверхности вращения многогранником их общим геометрическим элементом является некоторая линия.

Рассмотрим построение этой линии на примере решения задачи о пересечении прямой трехгранной призмы и сферы (рис. 6.3).

Пересечение гранных поверхностей с поверхностями вращения - Математика - 1

Рис. 6.3. Пересечение призмы и сферы.

Поскольку боковые грани призмы перпендикулярны к П1, то горизонтальная проекция линии пересечения призмы и сферы совпадает с горизонтальной проекцией боковой поверхности призмы.

Остается построить фронтальную проекцию линии пересечения. Так как по двум проекциям геометрического объекта легко построить третью, то здесь мы ограничимся построением горизонтальной и фронтальной проекций.

В данном случае, поскольку одна из поверхностей занимает частное положение в пространстве, то применения метода вспомогательных секущих плоскостей не требуется. Выберем характерные (1, 3, 5) и промежуточные (2, 4) точки, лежащие на линии пересечения призмы и сферы. Их горизонтальные проекции 11, 21, 31, 41, 51 указаны на рис. 6.3.

Для построения на П2 проекции какой-либо из указанных точек достаточно через горизонтальную проекцию искомой точки провести горизонтальную линию, фронтальная проекция которой представляет собой окружность, далее измерить расстояние вдоль этой линии от вертикальной оси до контура сферы на П1, а затем этим радиусом на П2 провести окружность.

Рассмотрим построение фронтальной проекции какой-либо точки, например, точки 2. Проводим через нее горизонтальную линию. Затем измеряем расстояние от точки 61 до 71 и этим радиусом проводим дугу окружности из точки О2. Искомая точка 22 лежит на пересечении дуги окружности с линией связи, проведенной из точки 21. Аналогично строятся точки 12, 42, 52. Через точку 3 нет необходимости проводить горизонтальную линию, так как она лежит на контуре сферы в проекции на П2, и для построения точки 32 достаточно провести из точки 31 линию связи до пересечения ее с контуром сферы.

Соединив точки 12, 22, 32, 42, 52, получаем один из участков искомой линии.

Так как участок линии между точками 51 и 81 лежит на горизонтальной линии, то между точками 5 и 8 линия пересечения призмы и сферы представляет собой дугу окружности.

В связи с тем, что рассматриваемые поверхности симметричны относительно горизонтальной и профильной плоскостей уровня, искомая линия пересечения в проекции на П2 симметрична относительно вертикальной и горизонтальной осей, и ее построение не требует дополнительных пояснений.

Видимость линий определяется по видимости точек так же, как в предыдущих разделах.

Заметим, что, используя метод вспомогательных секущих плоскостей, можно построить линию пересечения любых геометрических объектов (прямой с плоскостью, многогранником, поверхностью вращения, двух плоскостей, плоскости общего положения с многогранником и поверхностью вращения и т.п.). Если при построении линий пересечения вспомогательных секущих плоскостей и рассматриваемых поверхностей возникают затруднения, тогда необходимо способом замены плоскостей проекций получить проекции указанных поверхностей в более удобном виде.

Похожие публикации

Пересечение поверхностей вращения плоскостью. Развертки поверхностей вращения

Поверхностей вращения существует множество: цилиндр, конус, сфера, эллипсоиды, торы и др. Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси...

Пересечение поверхностей вращения общего положения. Метод секущих сфер

При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном расположении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости. В некоторых случаях применяют метод...

В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью

Многоугольник сечения может быть построен двумя способами: 1. Вершины многоугольника нахо-дятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью; 2. Стороны многоугольника нахо-дятся как линии...

Развертки гранных поверхностей

Определение. Разверткой гранной поверхности называется множество соединенных в плоскости многоугольников, конгруэнтных (равных) соответственно ее граням. Под соединением понимается последовательное размещение...

Развертка гранных поверхностей

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью всех его граней. Развертывание гранных поверхностей выполняют для проведения раскроя листового материала...

Соосными поверхностями вращения называются поверхности, имеющие общую ось вращения.

Соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Этих окружностей столько, сколько существует точек пересечения очерковых линий поверхностей...

Пересечение поверхностей вращения плоскостями частного положения

В зависимости от положения секущей плоскости линия пересечения с поверхностью вращения имеет разную форму.Цилиндр (прямой)Если секущая плоскость параллельна основанию, то линией пересечения с прямым цилиндром...

Пересечение соосных поверхностей вращения. Метод концентрических сфер

При построении линии пересечения соосных поверхностей вращения, т.е. таких, оси которых пересекаются, наиболее эффективным является метод вспомогательных секущих концентрических сфер. Оговоримся, что этот...

Пересечение гранных поверхностей

При пересечении двух многогранников общим геометрическим элементом является замкнутая ломаная линия, состоящая из участков прямой, так как многогранники образованы из плоскостей, а линия пересечения плоскостей...

Пересечение поверхностей. Применение в качестве поверхностей-посредников плоскостей частного положения

Линия пересечения поверхностей есть множество точек принадлежащих одновременно обоим поверхностям. В общем случае, чтобы построить какую-либо точку этой линии, рассекают обе поверхности третьей вспомогательной...

← Предыдущая публикация | Следующая публикация →